Question

8．如圖，已知正方形ABCD，M，N分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠MAN=45°，連接BD分別交AM，AN于E，F(xiàn)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是⑤．
①△CMN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)的兩倍；
②點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
③EF²=BE²+DF²；
④△EMO與△FNO均為等腰直角三角形；
⑤S_△AMN=$\sqrt{2}$S_△AEF；
⑥S_{正方形ABCD}：S_△AMN=2AB：MN．

Answer 1

分析 將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH．證明△MAN≌△HAN，得到MN=NH，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算判斷①；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；
將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE．證明△EAH≌△EAF，得到∠HBE=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算判斷③；
根據(jù)等腰直角三角形的判定定理判斷④；
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計(jì)算，判斷⑤，
根據(jù)點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)、三角形的面積公式計(jì)算，判斷⑥．

解答 解：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH．
則∠DAH=∠BAM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAN+∠DAN=45°，
∴∠NAH=45°，
在△MAN和△HAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△HAN，
∴MN=NH=BM+DN，
∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD，
∴△CMN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)的兩倍，①結(jié)論正確；
∵△MAN≌△HAN，
∴點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD，②結(jié)論正確；
如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE．
∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AD，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE²=BH²+BE²，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF²=BE²+DF²，③結(jié)論正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，
∴A、E、N、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADN+∠AEN=180°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；④結(jié)論正確；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，AN=$\sqrt{2}$AE，
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN•sin45°，
S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF•sin45°，
∴S_△AMN：S_△AEF=2，
∴S_△AMN=2S_△AEF，⑤結(jié)論錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)，
∴S_{正方形ABCD}：S_△AMN=$\frac{AB×AB}{\frac{1}{2}×MN×AB}$=2AB：MN，⑥結(jié)論正確．
故答案為：⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．