Question

20．已知，直線l：y=kx+b（k≠0）與雙曲線y=-$\frac{4}{x}$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其中x₁≠x₂．
（1）若k=$\frac{1}{2}$，x₁=-4，求直線l的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線l交x軸于C（x₀，0），求證：x₁+x₂=x₀；
（3）若直線a過點(diǎn)D（-2，-2），且與直線y=-$\frac{4}{|x|}$的圖象恰好有兩個交點(diǎn)，請直接寫出直線a的解析式為y=-2．

Answer 1

分析 （1）解方程組得到b=3，太深求得l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，根據(jù)方程x²+2bx+8=0得x₁x₂=8，x₂=-2，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)直線l與x軸交于C（x₀，0），當(dāng)?shù)玫絰₀=-$\frac{k}$，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得到kx²+bx+4=0，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)y=-$\frac{4}{|x|}$的圖象過點(diǎn)D（-2，-2）根據(jù)直線a與函數(shù)y=-$\frac{4}{|x|}$的圖象恰好有兩個交點(diǎn)，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
∴x²+2bx+8=0，
把x₁=-4代入方程得：b=3，
∴l(xiāng)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，由
方程x²+2bx+8=0得x₁x₂=8，x₂=-2，
∴A（-4，1），B（-2，2）；

（2）直線l：y=kx+b（k≠0）x軸于C（x₀，0），
∴x₀=-$\frac{k}$，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
∴kx²+bx+4=0，x₁+x₂=-$\frac{k}$，
∴x₁+x₂=x₀；

（3）y=-$\frac{4}{|x|}$的圖象為，
∵過點(diǎn)D（-2，-2）的直線a與函數(shù)y=-$\frac{4}{|x|}$的圖象恰好有兩個交點(diǎn)，
如圖過直線a的解析式為y=-2，
故答案為：y=-2．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，畫出圖象是解題的關(guān)鍵．