Question

17．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BC為⊙O的弦，OC⊥OA，OA與BC相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求線段BP的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明AP=AB，只要證明∠APB=∠ABP即可；
（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解決問題．

解答 （1）證明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．

（2）解：作OH⊥BC于H．
在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•PC•OH=$\frac{1}{2}$•OC•OP，
∴OH=$\frac{OC•OP}{PC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{O{C}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴PB=BC-PC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$-2$\sqrt{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．