Question

9．如圖，△ABC頂點A在x軸上，∠BCA=90°，AC=4，BC=3，反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{3x}$（x＜0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E．設(shè)點E、D的橫坐標(biāo)分別為a、b，連結(jié)DE，當(dāng)△BDE∽△BCA時，a、b的關(guān)系式為b=$\frac{1}{a}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意表示出E與D坐標(biāo)，由AC與BC的長表示出C，B，A的坐標(biāo)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+m，把A與B坐標(biāo)代入表示出k與m，進而表示出直線AB解析式，由三角形BDE與三角形BCA相似，得到DE與AB垂直，過點D作x軸的垂線，過點E作y軸的垂線，兩線交于點H，如圖所示，得到三角形EHD與三角形BCA相似，表示出HE與HD的關(guān)系式，即可得出a與b的關(guān)系式．

解答 解：∵∠BCA=90°，反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{3x}$（x＜0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E，點E、D的橫坐標(biāo)分別為a、b，
∴E（a，-$\frac{4}{3a}$），D（b，-$\frac{4}{3b}$），
∵AC=4，BC=3，
∴C（a，0），B（a，3），A（4+a，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（4+a）k+m=0}\\{ak+m=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{m=3+\frac{3}{4}a}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3+$\frac{3}{4}$a，
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴AB⊥DE，
過點D作x軸的垂線，過點E作y軸的垂線，兩線交于點H，如圖所示，
∴△EHD∽△BCA，
∴HE=$\frac{3}{4}$HD，即b-a=$\frac{3}{4}$（$\frac{4}{3a}$-$\frac{4}{3b}$），
∴b=$\frac{1}{a}$．
故答案為：b=$\frac{1}{a}$

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．