Question

12．如圖，已知梯形ABCD中，AD?BC，AC、BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AD=CD，AB=3，BC=5．求：
（1）tan∠ACD的值；
（2）梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，證出DE⊥AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出AM=CM，證明四邊形ABED是平行四邊形，得出DE=AB=3，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=4，得出AM=CM=2，由平行線分線段成比例定理得出DM=EM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，即可求出tan∠ACD=$\frac{DM}{CM}$=$\frac{3}{4}$；
（2）梯形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積，即可得出答案．

解答 解：（1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，如圖所示：
∵AB⊥AC，DE∥AB，
∴DE⊥AC，
∵AD=CD，
∴AM=CM，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴DE=AB=3，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AM=CM=2，
∵AD∥BC，
∴DM：EM=AM：CM=1：1，
∴DM=EM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠ACD=$\frac{DM}{CM}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$；

（2）梯形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、梯形和三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．