Question

4．觀察下列等式：
第一個等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$
第二個等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{2}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$
第三個等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$
第四個等式：a4=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）用含n的代數式表示第n個等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n×{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）×{2}^{n+1}}$．
（2）當平面內共有兩條直線相交時，能找到一個交點P₁（如圖1），當圖中有三條直線兩兩相交時，最多能找到三個交點P₁、P₂、P₃（如圖2），試回答下列問題：
①當圖中有4條直線兩兩相交時，最多能找到幾個交點？并用鉛筆和直尺畫出相應的圖形．
②當圖中有100條直線兩兩相交時，最多能找到多少個交點？（請列出算式，并求出結果）

Answer 1

分析 （1）利用已知的等式類比得出a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n×{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）×{2}^{n+1}}$；
（2）①4條直線兩兩相交，最多有1+2+3=6個交點；
②n條直線兩兩相交，最多有1+2+3+…+n-1=$\frac{1}{2}$n（n-1）個交點；由此代入求得答案即可．

解答 解：（1）a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n×{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）×{2}^{n+1}}$；
（2）①4條直線兩兩相交，最多有6個交點；

②1+2+3+…+99=$\frac{1}{2}$×99×（99+1）=4950．
答：100條直線兩兩相交時，最多能找到4950個交點．

點評 本題考查了圖形的變化規(guī)律，是一道關于數字猜想的問題，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規(guī)律解決問題．