Question

8．已知線段OA，OB，OC，OD，OE，OF，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，且AD=BE=CF=2，求證：S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分別得到△AOP≌△AOB、△PGQ≌△EOF、△QOD≌△COD，從而得到S_△AOP=S_△AOB，S_△PGQ=S_△EOF，S_△QOD=S_△COD，從而利用S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF=S_△AOP+S_△PGQ+S_△QOD求解．

解答 證明：作AG∥BE，DG∥CF，
則∠DAG=∠AOB=60°=∠COD=∠ADG，
∴△ADG是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，
∴S△ADG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
在AG上截取AP=OB，連接OP，
則△AOP≌△AOB，
即S_△AOP=S_△AOB，
∵BE=AG，OB=AP，
∴OE=PG，
在DG上截取GQ=OF，連接PQ，
則△PGQ≌△EOF，
即：S_△PGQ=S_△EOF，
∵GD=CF，GQ=OF，
∴DQ=OC，
∴△QOD≌△COD，即S_△QOD=S_△COD，
∴S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF=S_△AOP+S_△PGQ+S_△QOD=S_△ADG-S_△OPQ=$\sqrt{3}$-S_△OPQ＜$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面積及等積變換的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，構(gòu)造全等的三角形，難度偏大．