Question

10．如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A、B在一個半徑為2的圓上，頂點C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁作無滑動的滾動．當(dāng)滾動一周回到原位置時，點C運動的路徑長為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$π
• B． （$\sqrt{2}$+1）π
• C． （$\sqrt{2}$+2）π
• D． （$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$+1）π

Answer 1

分析 作輔助線，首先求出∠D′AB的大小，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)的角度，利用弧長公式問題即可解決．

解答 解：如圖，分別連接OA、OB、OD′、OC、OC′；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=60°；
同理可證：∠OAD′=60°，
∴∠D′AB=120°；
∵∠D′AB′=90°，
∴∠BAB′=120°-90°=30°，
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知∠C′AC=∠B′AB=30°；
∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為2，
∴∠ABC=90°，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為：$\frac{30π×2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$．
以D或B為圓心滾動時，每次C點運動$\frac{π}{3}$，
以A做圓心滾動兩次，以B和D做圓心滾動三次，所以總路徑=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$×2+$\frac{π}{3}$×3=（$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$+1）π．
故選：D．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用以及弧長公式的運用，題目的綜合性較強，解題的關(guān)鍵是正確的求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．