Question

11．使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點，例如，對于函數(shù)y=x-1，令y=0，可得x=1．我們就說1是函數(shù)y=x-1的零點．已知函數(shù)y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數(shù)）．
（1）當(dāng)m=0時，求該函數(shù)的零點；
（2）證明：無論m取何值，該函數(shù)總有兩個零點；
（3）設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為x₁和x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，求此時m的值．

Answer 1

分析 （1）利用新定義解方程x²-6=0即可；
（2）把問題轉(zhuǎn)化為證明x²-2mx-2（m+3）=0有兩個不相等的實數(shù)解，于是證明△＞即可；
（3）由于方程x²-2mx-2（m+3）=0的兩個不相等的實數(shù)解為x₁和x₂，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3），再由$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$變形得到x₁+x₂=-$\frac{1}{4}$x₁x₂，所以2m=-$\frac{1}{4}$×[-2（m+3）]，然后解關(guān)于m的一次方程即可．

解答 （1）解：m=0時，函數(shù)解析式為y=x²-6，
令y=0，x²-6=0，解得x₁=$\sqrt{6}$，x₂=-$\sqrt{6}$，
所以該函數(shù)的零點為$\sqrt{6}$和-$\sqrt{6}$；
（2）證明：令y=0，x²-2mx-2（m+3）=0，
∵△=4m²-4×[-2（m+3）]
=4m²+8m+24
=4（m+1）²+20＞0，
∴x²-2mx-2（m+3）=0有兩個不相等的實數(shù)解，
∴無論m取何值，該函數(shù)總有兩個零點；
（3）解：∵函數(shù)y=x²-2mx-2（m+3）的兩個零點分別為x₁和x₂，
∴方程x²-2mx-2（m+3）=0的兩個不相等的實數(shù)解為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3），
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{1}{4}$x₁x₂，
即2m=-$\frac{1}{4}$×[-2（m+3）]，
解得m=1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：把新定義“函數(shù)的零點”轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，利用判別式的意義判斷拋物線與x軸的交點個數(shù)解決（2）小題，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決（3）小題．