Question

16．若實數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}=7}\\{{x}^{2}-xy+{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，則x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴的值是（　�。�

• A． 2²⁰¹⁴+1
• B． 2²⁰¹⁴-1
• C． -2²⁰¹⁴+1
• D． -2²⁰¹⁴-1

Answer 1

分析 先原方程組相加和相減得兩個新的方程③和④，由③和④組成方程組解出代入x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴即可得出結(jié)論．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}=7①}\\{{x}^{2}-xy+{y}^{2}=3②}\end{array}\right.$，
①-②得：2xy=4，
xy=2③，
①+②得：x²+y²=5④，
由③和④組成方程組為：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-1}\\{{y}_{3}=-2}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-2}\\{{y}_{4}=-1}\end{array}\right.$，
分別代入x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴中均滿足x²⁰¹⁴+y²⁰¹⁴=2²⁰¹⁴+1；
故選A．

點評 本題是二元二次方程組及高次代數(shù)式的計算，首先利用加減法把方程組轉(zhuǎn)化為新的方程組，可以利用完全平方公式來解；同時利用任何數(shù)的偶次方都是正數(shù)進行代入計算．