Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點(diǎn)P、Q分別在BD、AD上，則AP+PQ最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長(zhǎng)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，則PQ最小，所以當(dāng)A′Q⊥AD時(shí)AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長(zhǎng)，可得出答案..

解答 解：設(shè)BE=x，則DE=3x，
∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE²=BE•DE，即AE²=3x²，
∴AE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB²=AE²+BE²，即3²=（$\sqrt{3}$x）²+x²，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{9}{2}$，BE=$\frac{3}{2}$，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′D，PA′，
則A′A=2AE=3$\sqrt{3}$=AD=A′D
∴△AA′D是等邊三角形，
∵PA=PA′，
∴當(dāng)A′、P、Q三點(diǎn)在一條線上時(shí)，A′P+PQ最小，
又垂線段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$\frac{9}{2}$，
故答案是：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對(duì)稱點(diǎn)，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少?gòu)?fù)雜的計(jì)算．