Question

6．已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=CD，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E．
（1）△BFC與△DFC全等嗎？試說明你的理由．
（2）AD與DE相等嗎？試說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通過SAS就能證出△BFC≌△DFC．
（2）要證明AD=DE，連接BD，證明△BAD≌△BED則可．根據(jù)AB∥DF，推出∠ABD=∠BDF，由于BF=DF，于是得到∠DBF=∠BDF，等量代換得到∠ABD=∠EBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=BD，即可得到∠BDA=∠DBC=∠BDC，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCF=∠DCF}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．

（2）連接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，
∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠FDB．
∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC．
∴∠BDA=∠BDC．
在△BAD與△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠FBD}\\{BD=BD}\\{∠ADB=BDC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BED（ASA），
∴AD=DE．

點評 此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．