Question

9．如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P．∠ABC是直角，∠C=60°，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 PE=PD，理由為：過P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，得到∠PDG=∠C+∠CAD，又∠CAB=30°，AD為∠CAB的平分線得到∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，求出∠PDG的度數(shù)，同理∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，即可求出∠PEF的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩角相等，再由垂直得到一對(duì)直角相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PF=PG，根據(jù)“AAS”即可得到三角形PEF與三角形PDG全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答 PE=PD．
證明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
過點(diǎn)P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分別為F、G，
則∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+$\frac{1}{2}$∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+$\frac{1}{2}$∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：PF=PG，
在△PFE和△PGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PGD}\\{∠PEF=∠PDG}\\{PF=PG}\end{array}\right.$
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了角平分線性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)．遇到角平分線常經(jīng)過角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線，得到兩垂線段的長(zhǎng)相等；本題先實(shí)驗(yàn)猜想，再探索證明，其目的是考查學(xué)生提出問題，解決問題的能力．