Question

13．探究：
在矩形ABCD中，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．
（1）如圖1，求證：ME=MF；
（2）如圖2，點G是線段BC上一點，連接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB：AB的值；
（3）如圖3，點G是線段BC延長線上一點，連接GE、GF、GM，若△EGF是等邊三角形，直接寫出AB、AD滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ABCD是矩形，得出∠EAM=∠FDM=90°，根據(jù)AM=DM，∠AME=∠FMD證出△AEM≌△DFM，即可得出ME=FM；
（2）過點G作GH⊥AD于H，則AB=GH，根據(jù)△GEF是等腰直角三角形，得出ME=FM，GM⊥EF，根據(jù)∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，得出∠MGE=∠MEG=45°，ME=MG，再根據(jù)∠AME+∠AEM=90°，得出∠AEM=∠GMH從而證出△AEM≌△HMG，得出GH=AM，即可解答；
（3）過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，連接MG，則∠GHM=∠A，根據(jù)△GEF是等邊三角形，得出EM=FM，GM⊥EF，$\frac{EM}{GM}=cot6{0}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠AME+∠GMH=90°，根據(jù)∠AME+∠AEM=90°，得出∠GMH=∠AEM，證出△AEM∽△HMG，$\frac{AM}{HG}=\frac{EM}{GM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得出HG=$\sqrt{3}$AM，最后根據(jù)AB=HG即可求出答案．

解答 （1）證明：如圖1，

在矩形ABCD中，
∠A=∠FDM=90°．
又∵AM=DM，∠AME=∠DMF，
∴△AME≌△DMF．
∴ME=MF．
（2）解：如圖2，過點G作GH⊥AD于點H．

∴四邊形ABGH是矩形．
∵△EGF是等腰直角三角形，
由（1）得，ME=MF，
∴ME=MG，
∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMG=∠HGM+∠DMG=90°．
∴∠AME=∠HGM．
又∵∠A=∠MHG，
∴△AME≌△HGM，
∴AM=HG．
∴AB=HG=AM=$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=2AB，
∴AB：AD=2：1，
（3）AB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}AD$，
如圖3，過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，連接MG，則∠GHM=∠A，

∵△GEF是等邊三角形，EM=FM，
∴GM⊥EF，
∴$\frac{EM}{GM}=cot6{0}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∠AME+∠GMH=90°，
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠GMH=∠AEM，
∴△AEM∽△HMG，
∴$\frac{AM}{HG}=\frac{EM}{GM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴HG=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}×\frac{AD}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$．

點評 此題考查了四邊形綜合，用到的知識點是全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)值的運用，等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)．在解答時添加輔助線構(gòu)建全等形和相似形是關(guān)鍵．