Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A的坐標(biāo)為（-4，0），點B的坐標(biāo)為（0，4），點C、D分別為OA、OB的中點，若正方形OCED繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OC′E′D′．記旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜360°），連結(jié)AC′、BD′，設(shè)直線AC′與直線BD′相交于點F，則點F的縱坐標(biāo)的最大值為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 首先找到使點F的縱坐標(biāo)最大時點F的位置（點F與點E′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點F的縱坐標(biāo)的最大值．

解答 解：如圖，

∵∠AOB=∠D′OC′，
∴∠ACO′=∠BOD′，
在△AOC′和△BOD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC′=∠BOD′}\\{OC′=OD′}\end{array}\right.$，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAF=∠OBF，
∵∠AGO=∠BOF
∴∠BFA=∠BOA=90°，
∴點F、B、A、O四點共圓，
∴當(dāng)點F在劣弧上運動時，點F的縱坐標(biāo)隨∠FAO的增大而增大，
∵OC′=2，
∴點C′在以點O為圓心，2為半徑的圓O上運動，
∴當(dāng)AF與⊙O相切時，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此時∠AC′O=90°，點E′與點F重合，點F的縱坐標(biāo)達(dá)到最大．
過點F作FH⊥x軸，垂足為H，如圖所示．
∵∠AC′O=90°，C′O=2，AO=4，
∴∠E′AO=30°，AC′=2$\sqrt{3}$．
∴AF=2$\sqrt{3}$+2．
∵∠AHF=90°，∠FAH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+2）=$\sqrt{3}$+1．
∴點P的縱坐標(biāo)的最大值為$\sqrt{3}$+1．

點評 本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，找到使點F的縱坐標(biāo)最大時點F的位置是解決問題的關(guān)鍵．