Question

19．如圖，已知PA是⊙O的切線，切點為A，PC與⊙O相交于B，C點，且AB⊥PC于點B，點D為$\widehat{BC}$上一點，連接AD于點E，且∠PAB=∠DAB．
（1）求證：AB=BD；
（2）若AB=8，tan∠P=$\frac{4}{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得出∠PAB=∠D，由∠PAB=∠DAB，得出∠D=∠DAB，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC，先證明AC是⊙O的直徑，再由三角函數(shù)求出PB，由勾股定理求出PA，證明△PAC∽△PBA，得出對應(yīng)邊成比例求出AC，即可得出⊙O的半徑．

解答 （1）證明：∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAB=∠D，
∵∠PAB=∠DAB，
∴∠D=∠DAB，
∴AB=BD；
（2）解：連接AC，如圖所示：
∵AB⊥PC，
∴∠ABP=∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直徑，
∵AB=8，tan∠P=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{4}{3}$，
∴PB=6，
∴PA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠ABP=90°，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{PB}$，
即$\frac{AC}{8}=\frac{10}{6}$，
解得：AC=$\frac{40}{3}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{20}{3}$，
即⊙O的半徑為$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理、三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓的有關(guān)定理，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．