Question

6．在矩形ABCD中，AB=6，AD=2$\sqrt{3}$，E是AB邊上一點(diǎn)，AE=2，F(xiàn)是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，當(dāng)點(diǎn)E、A′、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，DF的長(zhǎng)度為6+2$\sqrt{7}$或6-2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：如圖1，F(xiàn)是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，如圖2，F(xiàn)是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，利用勾股定理求出CE，再證明CF=CE即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖1，F(xiàn)是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{C}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴CF=CE=2$\sqrt{7}$，
∵AB=CD=6，
∴DF=CD-CF=6-2$\sqrt{7}$，
如圖2，F(xiàn)是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE=∠AEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{C}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴CF=CE=2$\sqrt{7}$，
∵AB=CD=6，
∴DF=CD+CF=6+2$\sqrt{7}$，
故答案為6+2$\sqrt{7}$或6-2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，本題的突破點(diǎn)是證明△CFE的等腰三角形，屬于中考常考題型．