Question

12．已知二次函數(shù)y=ax²-8ax（a＜0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，它的頂點為P．點C為y軸正半軸上一點，直線AC與該圖象的另一交點為B，與過點P且垂直于x軸的直線交于點D，且CB：AB=1：7．
（1）求點A的坐標(biāo)及點C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）連接BP，若△BDP與△AOC相似（點O為原點），求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）首先利用配方法求出拋物線頂點坐標(biāo)再求出A點坐標(biāo)，再利用B點橫坐標(biāo)求出縱坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)題意得出只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，再利用BF=3，AH=4，DH=-4a，則FD=-3a，求出a的值，即可得出答案．

解答 解：（1）∵y=ax²-8ax=a（x-4）²-16a，
∴P（4，-16a），
當(dāng)ax²-8ax=0，
解得：x₁=0，x₂=8，
∴A（8，0），
∵CB：AB=1：7，
∴點B的橫坐標(biāo)為1，
∴B（1，-7a），
∴C（0，-8a）；

（2）∵△AOC為直角三角形，
∴只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，
設(shè)對稱軸與x軸交于點H，過點B作BF⊥PD于點F，
可得，BF=3，AH=4，DH=-4a，則FD=-3a，
∴PF=-9a，
由相似，可知：BF²=DF•PF，
則9=-9a•（-3a），
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
故拋物線解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．