Question

5．如圖，AD是△ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；
（2）求cos∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AD是△ABC的角平分線得出∠1=∠2，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，故可得出∠ADE=∠DAE，所以ED=EA，由圓周角定理得出EF⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，根據(jù)勾股定理得出DE的長(zhǎng)，根據(jù)$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$AE•DM得出DM的長(zhǎng)，由勾股定理得出ME的長(zhǎng)，根據(jù)cos∠AED=$\frac{ME}{DE}$即可得出結(jié)論；

解答 （1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED是⊙O的直徑，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；

（2）解：連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，則ED=$\sqrt{E{F^2}+D{F^2}}$=5k
∵$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$AE•DM，
∴DM=$\frac{AD•EF}{AE}$=$\frac{6k•4k}{5k}$=$\frac{24k}{5}$，
∴ME=$\sqrt{D{E^2}-D{M^2}}$=$\frac{7}{5}$k
∴cos∠AED=$\frac{ME}{DE}$=$\frac{7}{25}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到角平分線的定義、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考�？碱}型．