Question

20．如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)作三個等邊△ABD、△BEC、△ACF．
（1）求證：△BDE≌△BAC；
（2）判斷四邊形ADEF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）①當△ABC滿足AB=AC條件時，四邊形ADEF是菱形．
②當△ABC滿足∠BAC=150°條件時，四邊形ADEF是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）由題意易得△BDE≌△BAC，所以DE=AC=AF，同理可證，EF=AB=AD，所以四邊形ADEF為平行四邊形；
（3）AB=AC時，可得ADEF的鄰邊相等，所以ADEF為菱形，AEDF要是矩形，則∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°時為矩形．

解答 （1）證明：∵△ABD和△EBC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC．
∵在△BDE和△BAC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BAC（SAS）；

（2）四邊形ADEF為平行四邊形，
證明：由（1）△BDE≌△BAC，
∴DE=AC=AF，
同理可證：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD，
∴ADEF為平行四邊形；

（3）AB=AC時，?ADEF為菱形，當∠BAC=150°時?ADEF為矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴?ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC，
∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=90°，
∴平行四邊形ADEF是矩形．
故答案是：①AB=AC；②∠BAC=150°．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判斷和性質(zhì)、菱形的判定的應(yīng)用以及矩形的判斷，熟記各種特殊四邊形的各種判斷方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．