Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E．
（Ⅰ）求證：MD=ME；
（Ⅱ）如圖2，連OD，OE，當(dāng)∠C=30°時，求證：四邊形ODME是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得MA=MB，則∠A=∠MBA，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；
（2）先證明△OAD和△OBE為等邊三角形，再證明四邊形DOEM為平行四邊形，然后加上OD=OE可判斷四邊形ODME是菱形．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，
∴MA=MB，
∴∠A=∠MBA；
∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
而∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA；
同理可得∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME；

（2）∵∠C=30°，
∴∠A=60°，
∴∠ABM=60°，
∴△OAD和△OBE為等邊三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四邊形DOEM為平行四邊形，
而OD=OE，
∴四邊形ODME是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了菱形的判定．