Question

20．如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點D、E，連接DE，AD=BD，∠ADE=120°．
（1）試判斷△ABC的形狀并說明理由．
（2）若AC=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接CD，由AC為⊙O的直徑，得到CD⊥AB，由∠ADE=120°，得到∠ACE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACB=∠B=60°，推出△BDE是等邊三角形，得到BD=ED，等量代換得到DE=AD，得到S_陰影=S_△DEB，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）△ABC是等邊三角形，
連接CD，
∵AC為⊙O的直徑，
∴CD⊥AB，
∵AD=BD，
∴AC=BC，
∵∠ADE=120°，
∴∠ACE=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴∠BED=∠BDE=∠B=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴BD=ED，
∵AD=BD，
∴DE=AD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{AD}$，
∴S_弓形DE=S_弓形AD，
∴S_陰影=S_△DEB，
∵AC=2，
∴BD=1，
∴S_陰影=S_△DEB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了扇形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．