Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=$4\sqrt{3}$，M是邊BC的中點，MN⊥BC交AC于點N，動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒$\sqrt{3}$個單位的速度運動，同時，動點Q從點N出發(fā)沿射線NC運動，且始終保持MQ⊥MP，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
（1）①以圖1為例，求證：△PMB∽△QNM；
②在圖2中，當(dāng)動點P運動到BA的延長線上時，請畫出滿足條件的圖形，并判斷①的結(jié)論是否成立（不再證明）？
（2）求動點Q的運動速度；
（3）連接PQ，探求BP²，PQ²，CQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說明理由．

Answer 1

分析 （1）①通過垂直的定義、直角三角形中的兩個銳角互余以及等量代換，可以證得△PBM與△QNM中的兩個角對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似；
②根據(jù)題意畫出圖形，與①的方法類似證明即可；
（2）根據(jù)△PBM∽△QNM的對應(yīng)邊成比例可以求得NQ的長，即Q一分鐘移動的距離，即點Q的速度；
（3）PQ²=BP²+CQ²．作輔助線延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD構(gòu)建平行四邊形BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²；最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)知PQ=PD，所以由等量代換證得該結(jié)論．

解答 （1）證明：①△PBM∽△QNM．
理由如下：如圖1，∵M(jìn)Q⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN，
∵∠PBM+∠C=90°，QNM+∠C=90°，
∴∠PBM=∠QNM，
∴△PBM∽△QNM；
②，①的結(jié)論成立，證明方法與①相同；
（2）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8$\sqrt{3}$cm．
又∵M(jìn)N垂直平分BC，
∴BM=CM=4$\sqrt{3}$cm．
∵∠C=30°，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CM=4cm；
①設(shè)Q點的運動速度為vcm/s．
如圖1，當(dāng)0＜t＜4時，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴$\frac{NQ}{BP}$$\frac{MN}{MB}$，即$\frac{vt}{\sqrt{3}t}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
∴v=1，
如圖2，當(dāng)t≥4時，同理可得v=1．
綜上所述，Q點運動速度為1cm/s；
（3）PQ²=BP²+CQ^2．
證明如下：如圖1，延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四邊形BDCQ為平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形知識和線段垂直平分線知識綜合應(yīng)用，利用時間t正確表示出題目中線段的長度是解題的關(guān)鍵．