Question

4．思考題
觀察下列等式
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
將以上三個等式兩邊分別相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$=$\frac{2006}{2007}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）觀察題目所給等式，總結(jié)隱含的恒等變換，直接寫出所求等式．
（2）利用等式：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$將相鄰兩個正整數(shù)的積的倒數(shù)寫成它們的倒數(shù)的差，然后計算出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
（2）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$
=1-$\frac{1}{2007}$
=$\frac{2006}{2007}$

②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$
故答案為：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）①$\frac{2006}{2007}$；②$\frac{n}{n+1}$

點評 本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是能夠總結(jié)出題目隱含的數(shù)字變換規(guī)律并加以運用