Question

9．定義：如果M個(gè)不同的正整數(shù)，對(duì)其中的任意兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的積能被這兩個(gè)數(shù)的和整除，則稱(chēng)這組數(shù)為M個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組．如（3，6）為兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，因?yàn)椋?×6）能被（3+6）整除；又如（15，30，60）為三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，因?yàn)椋?5×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我們發(fā)現(xiàn)，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組；由此猜測(cè)n和n（n-1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，請(qǐng)證明這一猜想．
（2）若（3a，4a，5a）是三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，求滿(mǎn)足條件的所有三位正整數(shù)a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)祖沖之?dāng)?shù)組的定義，即可解決問(wèn)題．
（2）首先根據(jù)定義判斷出a是7，8，9的倍數(shù)，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）∵n•n（n-1）=n²（n-1），而n+n（n-1）=n²
且：n²（n-1）能被n²整除，
∴n和n（n-1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組．

（2）∵（3a，4a，5a）是三個(gè)數(shù)的祖沖之?dāng)?shù)組，
∴$\frac{3a•4a}{7a}$=$\frac{12}{7}a$，$\frac{3a•5a}{8a}$=$\frac{15}{8}a$，$\frac{4a•5a}{9a}$=$\frac{20}{9}$a都是整數(shù)，
∴a是7，8，9的倍數(shù)，
∴滿(mǎn)足條件的所有三位正整數(shù)a為504．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是弄清、理解并運(yùn)用新定義．