Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD相交于點(diǎn)E，∠ADB=∠ACB．
（1）求證：AD²=AE•AC；
（2）若AB⊥AC，CE=2AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接AF，判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠ABD=∠ACB，再由一對(duì)公共角，得到三角形BAE與三角形CAB相似，由相似得比例，等量代換即可得證；
（2）△ABF為等邊三角形，理由為：設(shè)AE=x，表示出CE，根據(jù)（1）的結(jié)論表示出AB，利用勾股定理表示出BC，根據(jù)AF為直角三角形斜邊上的中線得到AF=BF=CF，等量代換得到AF=BF=AB，即可得證．

解答 （1）證明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AC•AE；
（2）△ABF為等邊三角形，理由為：
證明：設(shè)AE=x，則CE=2AE=2x，
∵AB²=AC•AE，
∴AB²=x（x+2x）=3x²，
∴AB=$\sqrt{3}$x，
∵AB⊥AC，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴BF=AB=$\sqrt{3}$x，
∵AB⊥AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF=BF=CF，
∴AF=BF=AB，
則△ABF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．