Question

4．如圖，已知直線m∥n，A，D兩點(diǎn)在直線m上，B，C兩點(diǎn)在直線n上，且AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，BG⊥AC，DH⊥AC，點(diǎn)G，H分別是垂足．求證：EF與GH互相平分．

Answer 1

分析 由直線m∥n，A，D兩點(diǎn)在直線m上，B，C兩點(diǎn)在直線n上，得到AD∥BC，由于AB∥CD，推出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC，推出AE=CF，根據(jù)BG⊥AC，DH⊥AC，得到∠AHD=∠CGB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EH=GF，證得△ADH≌△CBG，得到AH=CG，作出AG=CH，然后由△AEG≌△CFH，得到EG=FH，證得四邊形EGFH是平行四邊形，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵直線m∥n，A，D兩點(diǎn)在直線m上，B，C兩點(diǎn)在直線n上，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，
∴AE=CF，
∵BG⊥AC，DH⊥AC，
∴∠AHD=∠CGB=90°，
∴HE=$\frac{1}{2}$AD，GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EH=GF，
在△ADH與△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAH=∠BCG}\\{∠AHD=∠CGB}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴AH=CG，
∴AG=CH，
在△AEG與△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAG=∠FCH}\\{AG=CH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CFH，
∴EG=FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∴EF與GH互相平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．