Question

18．用兩個(gè)直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和一個(gè)腰長(zhǎng)為c的等腰直角三角形拼成如圖1所示的形狀，得到一個(gè)直角梯形．
（1）可以用兩種不同的方法求圖1所示直角梯形的面積．方法一：S_梯形=$\frac{1}{2}$（a+b）•（a+b）；方法二：S_梯形=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²．請(qǐng)直接寫出a、b、c之間的等量關(guān)系；
（2）已知如圖2所示在Rt△ABC中，兩直角邊a、b滿足a-b=1，斜邊c=5，求△ABC的面積和周長(zhǎng)；
（3）如圖3，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，D為BC上一點(diǎn)，將Rt△ABC沿AD折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的E點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方法一和二所列的梯形的面積相等列式可得a、b、c之間的等量關(guān)系；
（2）先由勾股定理得：a²+b²=c²=25①，將a-b=1兩邊同時(shí)平方得：a²-2ab+b²=1②，兩式可得：ab=12，可以求三角形ABC的面積，由a+b=$\sqrt{（a+b）^{2}}$可得a+b的值，可以計(jì)算三角形ABC的周長(zhǎng)；
（3）由折疊得：DC=DE，∠DEA=∠C=90°，AE=AC=6，設(shè)BD=x，在Rt△BDE中，由勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_梯形=$\frac{1}{2}$（a+b）•（a+b），S_梯形=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
∴$\frac{1}{2}$（a+b）•（a+b）=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
（a+b）²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；
（2）如圖2，由勾股定理得：a²+b²=c²=25①，
∵a-b=1，
∴a²-2ab+b²=1②，
把①代入②得：25-2ab=1，
ab=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵a+b=$\sqrt{（a+b）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+2ab+^{2}}$=$\sqrt{25+2×12}$=7，
∴△ABC的周長(zhǎng)=7+5=12；
（3）如圖3，由折疊得：DC=DE，∠DEA=∠C=90°，AE=AC=6，
設(shè)BD=x，則CD=DE=8-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：x²=4²+（8-x）²，
x=5，
∴BD=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了完全平方公式、勾股定理的證明和運(yùn)用、三角形面積、折疊的性質(zhì)，熟練掌握利用面積法證明勾股定理，本題難度適中．