Question

11．某商店經(jīng)銷《超能陸戰(zhàn)隊》超萌“小白”玩具，“小白”玩具每個進價60元，每個玩具不得低于80元出售．銷售“小白”玩具的單價m （元/個）與銷售數(shù)量n （個）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）試解釋線段AB所表示的實際優(yōu)惠銷售政策；
（2）寫出該店當(dāng)一次銷售n（n＞10）個時，所獲利潤w（元）與n（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）店長經(jīng)過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn)：賣25個賺的錢反而比賣30個賺的錢多，你能用數(shù)學(xué)知識解釋這一現(xiàn)象嗎？為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他條件不變的情況下，店長應(yīng)把最低價每個80元至少提高到多少元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求線段AB的函數(shù)的解析式，設(shè)m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組求出解析式；然后根據(jù)解析式解釋線段AB所表示的實際優(yōu)惠銷售政策即可；
（2）分類討論：當(dāng)10＜n＜30時，W=（m-60）n；當(dāng)n≥30時，W=（80-60）n；
（3）配方W=-n²+50n得到W=-（n-25）²+625，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論增減性，可得賣26個賺的錢反而比賣30個賺的錢多．為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他條件不變的情況下，店長應(yīng)把最低價每個80元至少提高到85元．

解答 解：（1）設(shè)m=kx+b，
把A（10，100）和B（30，80）代入上式，得
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=100}\\{30k+b=80}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴線段AB的函數(shù)的解析式為m=-n+110（10≤n≤30）；
由解析式可知線段AB所表示的實際優(yōu)惠銷售政策：一次性銷售10到30個時，每多銷售1個，玩具的單價下降1元；
（2）當(dāng)10＜n＜30時，W=（m-60）n=（-n+110-60）n=-n²+50n，
當(dāng)n≥30時，W=（80-60）n=20n；
（3）W=-n²+50n=-（n-25）²+625，
①當(dāng)10＜n≤25時，W隨n的增大而增大，即賣的越多，利潤越大；
②當(dāng)25＜n≤30時，W隨n的增大而減小，即賣的越多，利潤越��；
∴賣25個賺的錢反而比賣30個賺的錢多．
∴當(dāng)n=25時，m=-n+110=85，
∴當(dāng)每個玩具不得低于85元時，n的位置范圍為10＜n≤25，函數(shù)圖象都在最對稱軸左側(cè)，W隨n的增大而增大，即賣的越多，利潤越大，
所以為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象，在其他條件不變的情況下，店長應(yīng)把最低價每個80元至少提高到85元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：先得到二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+k，當(dāng)a＜0，x=h時，y有最大值k；當(dāng)a＜0，x=h時，y有最小值k；也考查了二次函數(shù)的增減性以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．熟練的運用二次函數(shù)的增減性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．