Question

5．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為A，連結(jié)OB，將△OAB沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A₁處，A₁B與x軸交與點(diǎn)F．
（1）求證：OF=BF；
（2）求BF的長；
（3）求過點(diǎn)A₁的雙曲線的解析式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠ABO=∠A₁BO，再由AB∥OF得出∠ABO=∠BOF，故可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，則四邊形OABD是矩形，故BD=OA=2，OD=AB=4，設(shè)BF=x，則DF=OD-OF=4-x，再根據(jù)勾股定理求出x的值即可；
（3）過點(diǎn)A₁作A₁E⊥x軸于點(diǎn)E，先根據(jù)HL定理得出Rt△BDF≌Rt△OA₁F，故S_△BDF=S_△OA1F，故可得出A₁E的長，由勾股定理求出OE的長，進(jìn)而可得出A₁點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A₁的雙曲線的解析式即可．

解答 （1）證明：∵△OA₁B由△OAB翻折而成，
∴∠ABO=∠A₁BO．
∵BA⊥y軸，
∴AB∥OF，
∴∠ABO=∠BOF，
∴∠BOF=∠A₁BO，
∴OF=BF；

（2）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，則四邊形OABD是矩形，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），
∴BD=OA=2，OD=AB=4，
設(shè)BF=x，則DF=OD-OF=4-x，
在Rt△BDF中，
BD²+DF²=BF²，即2²+（4-x）²=x²，解得x=$\frac{5}{2}$，即BF=$\frac{5}{2}$；

（3）過點(diǎn)A₁作A₁E⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△OA₁B由△OAB翻折而成，
∴OA=OA₁，
∵OA=BD，
∴OA₁=BD．
∵由（1）知，OF=BF，
∴在Rt△BDF與Rt△OA₁F中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA}_{1}=BD\\ OF=BF\end{array}\right.$，
∴△Rt△BDF≌Rt△OA₁F，
∴S_△BDF=S_△OA1F，
∵由（2）知，OF=BF=$\frac{5}{2}$，BD=2，DF=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴A₁E=$\frac{BD•DF}{OF}$=$\frac{2×\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{6}{5}$．
在Rt△OEA₁中，OE=$\sqrt{{OA}_{1}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{（-\frac{6}{5}）}^{2}}$=$\frac{8}{5}$．
∴A₁（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
設(shè)求過點(diǎn)A₁的雙曲線的解析式為y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∴k=$\frac{8}{5}$×（-$\frac{6}{5}$）=-$\frac{48}{25}$，
∴過點(diǎn)A₁的雙曲線的解析式為y=-$\frac{48}{25x}$．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用地待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．