Question

8．為倡導節(jié)能減排，重慶某公司用480萬元購得“變頻調速技術”后，進一步投入資金1520萬元購買配套設備，以提高用電效率達到節(jié)約用電的目的．已知該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品“草甘磷”每件成本費為40元．經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價，需定在100元到300元之間較為合理．當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件新產(chǎn)品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產(chǎn)品的銷售價格在200元的基礎上每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x元，年銷售量為y萬件，年獲利為w萬元．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資）
（1）直接寫出y與x間的函數(shù)關系式；
（2）求第一年的年獲利w與x的函數(shù)關系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該公司把“草甘磷”的銷售單價定在超過100元，但不超過200元的范圍內，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小虧損）后，兩年的總盈利為1842萬元，請你確定此時銷售單價．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

分析 （1）分段討論當100＜x≤200和當200＜x≤300的函數(shù)關系式，
（2）由年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資分別列出當100＜x≤200和200＜x≤300的利潤關系式，求出最大利潤，
（3）依題意可知，當100＜x≤200時，寫出第二年w與x關系為式，由第二年的盈利為1842萬元，解得單價x．

解答 解：（1）當100＜x≤200時，
y=20-$\frac{x-100}{10}$×0.8
=-0.08x+28，
可見x=200元時，y=28-16=12（萬件）
當200＜x≤300時，
y=12-$\frac{x-200}{10}$×1=-0.1x+32；

（2）投資成本為480+1520=2000萬元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可見第一年在100≤x＜200注定虧損，x=195時虧損最少，為78萬元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可見第一年在200≤x≤300注定虧損，x=200時虧損最少，為80萬元
綜上可見，x=195時虧損最少，為78萬元．

（3）依題意可知，當100＜x≤200時，第二年w與x之間的函數(shù)關系為
w=（x-40）（-0.08x+28）-78，
當總利潤剛好為1842萬元時，依題意得（x-40）（-0.08x+28）-78=1842
整理，得x²-390x+38000=0，
解得，x₁=190，x₂=200
答：要使產(chǎn)品銷售量最大，銷售單價應定為190元或200元．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)在實際中應用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數(shù)模型解答，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值．