Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以邊AB、AC、BC為邊分別向外作等邊三角形，其面積分別為S₁，S₂，S₃，若S₁=6，S₂=2，則S₃=8．

Answer 1

分析 先設(shè)AC=a，BC=b，AB=c，根據(jù)勾股定理有a²+b²=c²，再根據(jù)等式性質(zhì)可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及特殊三角函數(shù)值，易求而S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°a•a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，同理可求S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，從而可得S₁+S₂=S₃，易求S₃．

解答 解：設(shè)AC=a，BC=b，AB=c，那么
∵△ABC是直角三角形，
∴a²+b²=c²，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
又∵S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°a•a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₃=S₂+S₁=8，
故答案為：8．

點評 本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值．解題關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出每一個三角形的面積．