Question

1．問題情境：如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離．

（1）探究：
如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（不為點(diǎn)A、B重合），連接PC、OC．試證明：PA＜PC．
（2）直接運(yùn)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請(qǐng)求出A′B長(zhǎng)度的最小值．
解：由折疊知A′M=AM，又M是AD的中點(diǎn)，可得MA=MA′=MD，故點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上．（請(qǐng)繼續(xù)完成解題過程）
（4）綜合應(yīng)用：（下面兩小題請(qǐng)選擇其中一道完成）
①如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是$\sqrt{5}$-1．
②如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（-2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值等于$\sqrt{74}$-3．

Answer 1

分析 （1）利用三角形三邊關(guān)系結(jié)合圓的性質(zhì)得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出AO長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（3）利用已知點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上，得出當(dāng)點(diǎn)A′在BM上時(shí)，A′B長(zhǎng)度取得最小值，進(jìn)而得出BM的長(zhǎng)，即可得出答案；
（4）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小；
②作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PM+PN最小，再利用對(duì)稱確定A′的坐標(biāo)，接著利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出A′B的長(zhǎng)，然后用A′B的長(zhǎng)減去兩個(gè)圓的半徑即可得到MN的長(zhǎng)，即得到PM+PN的最小值．

解答 （1）證明：如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（不為點(diǎn)A、B），連接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，
∴PA＜PC，
∴PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離；

（2）解：連接AO與⊙O相交于點(diǎn)P，如圖3，由已知定理可知，
此時(shí)AP最短，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC為直徑，
∴PO=CO=1，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AP=$\sqrt{5}$-1，
故答案為：$\sqrt{5}$-1；

（3）解：如圖4，由折疊知A′M=AM，又M是AD的中點(diǎn)，可得MA=MA′=MD，
故點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上，
由模型可知，當(dāng)點(diǎn)A′在BM上時(shí)，A′B長(zhǎng)度取得最小值，
∵邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，
∴BM=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
故A′B的最小值為：$\sqrt{3}$-1；

（4）①解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，
則OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，
最小值=OD-OH=$\sqrt{5}$-1．
故答案為：$\sqrt{5}$-1；

②解：作⊙A關(guān)于x軸的對(duì)稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖6，
則此時(shí)PM+PN最小，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)（-2，3），
∴點(diǎn)A′坐標(biāo)（-2，-3），
∵點(diǎn)B（3，4），
∴A′B=$\sqrt{（3+2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{74}$-2-1=$\sqrt{74}$-3，
∴PM+PN的最小值為$\sqrt{74}$-3．
故答案為：$\sqrt{74}$-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系及圓的性質(zhì)，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．