Question

16．（1）半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于60°或120度；
（2）在半徑為1的⊙O中，弦AB，AC的長(zhǎng)分別為$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$，則∠BAC的度數(shù)是75°或15°；
（3）已知圓內(nèi)接△ABC中．AB=AC，圓心O到BC的距離為3cm，圓的半徑為7cm，求腰長(zhǎng)AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理求得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形函數(shù)可得到∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求得∠AEB的度數(shù)；
（2）連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據(jù)垂徑定理求出AE、FA值，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出∠OAB和∠OAC，然后分兩種情況求出∠BAC即可；
（3）可根據(jù)勾股定理先求得BD的值，再根據(jù)勾股定理可求得AB的值．注意：圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)時(shí)，AD=10cm；圓心在內(nèi)接三角形外時(shí)，AD=4cm．

解答 解：（1）如圖1，過O作OD⊥AB，則AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵OA=1，
∴sin∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOD=60°．
∵∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠ACB=∠AOD=60°．
又∵四邊形AEBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠AEB=180°-∠ACB=180°-60°=120°．
故這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于60°或120度．
故答案為：60°或120度．

（2）解：有兩種情況：
①如圖2所示：連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂徑定理得：AE=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AF=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如圖3所示：
連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂徑定理得：AE=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°-30°=15°，
故答案為：75°或15°；

（3）分圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論，
如圖4，假若∠A是銳角，△ABC是銳角三角形，
連接OB，作AD⊥BC于D，連接OD，
∵AB=AC，
∴AD是BC的中垂線，
∴OD也是BC的中垂線，
∴A、O、D三點(diǎn)共線，
∵OD=3cm，OB=7cm，
∴AD=10cm，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{35}$cm；
如圖5，若∠A是鈍角，則△ABC是鈍角三角形，
和圖4解法一樣，只是AD=7-3=4cm，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{14}$cm，
綜上可得腰長(zhǎng)AB=2$\sqrt{35}$cm或2$\sqrt{14}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，注意分圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，求出符合條件的所有情況．