Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC四個頂點的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），拋物線過y=ax²+bx+c（a≠0）點A．
（1）求c的值；
（2）若a=-1，且拋物線與矩形有且只有三個交點，A，D，E，求△ADE的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把（0，3）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，易求c；
（2）當(dāng)a=-1時，函數(shù)解析式是y=-x²+bx+3，然后求得D點坐標(biāo)是（b，3），E點坐標(biāo)是（6，6b-33），分別把D、E的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+3中，結(jié)合三角形面積公式，易得S=-3b²+18b，求關(guān)于b的二次函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）把（0，3）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，得c=3；

（2）若a=-1，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，
則D、E分別在線段AB、BC上，或分別在AB、OC上，
若D、E分別在線段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，令y=3，得x²-bx=0，解得：x=0或x=b，故D（b，3），
令x=6，得：y=6b-33，故E（6，6b-33），
∵0≤6b-33＜3，
∴$\frac{11}{2}$≤b＜6，
又∵AD=|b|=b，EB=|3-（6b-33）|=36-6b，
△ADE的面積S=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$b（36-6b）=-3b²+18b=-3（b-3）²+27，
則當(dāng)b=$\frac{11}{2}$時，S有最大值$\frac{33}{4}$．
若D、E分別在AB、OC上，見備用圖，
△ADE的面積S=$\frac{1}{2}$AD•BE=$\frac{1}{2}$b•3=$\frac{3}{2}$b，
∵拋物線的對稱軸為：x=$\frac{2}$，
當(dāng)過點C時，拋物線為：y=-x²+$\frac{11}{2}$x+3，
∴0＜$\frac{2}$≤$\frac{11}{4}$，
∴當(dāng)b=$\frac{11}{2}$時，S有最大值$\frac{33}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是理解題意，并能畫出草圖，利用線段垂直平分線的性質(zhì)、解方程組、兩點之間的距離公式來解決問題．