Question

3．閱讀下列文字：
我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；
（3）圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片及若干個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，請(qǐng)利用所給的紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，使它的面積為2a²+5ab+2b²，把拼出的圖形畫在方框內(nèi)，并拼出的圖形將多項(xiàng)式2a²+5ab+2b²分解因式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．
（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使它滿足所給的條件．

解答 解：（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）²，
各小矩形部分的面積之和=a²+2ab+b²+2bc+2ac+c²，
故等式為（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
（2）a²+b²+c² =（a+b+c）²-2ab-2ac-2bc
=11²-2×38
=45．
（3）如圖所示：

故2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的幾何背景，根據(jù)矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等即可解答．