Question

18．已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，A（0，6）、B（8，0），C點在x軸上，直線$y=\frac{1}{2}x+4$經(jīng)過C點，且與y軸交于點E，折疊梯形ABCD，使點B與點E重合，折痕與x軸交于點F，交直線AB于點G，交y軸于點N．
（1）求tan∠OBE的值；
（2）求直線FG的解析式；
（3）在x軸上是否存在點K，使以B、E、K為頂點的三角形與△EFN相似？若存在，請求出點K的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接BE．根據(jù)直線方程求得點E的坐標，結合點B的坐標可求得線段OE、OB的長度，所以由正切函數(shù)的定義進行解答即可；
（2）如圖2，連接EF，設OF為x，則EF=BF=8-x，利用勾股定理得到x的值，則F（5，0）．結合（1）的結論和折疊的性質(zhì)易求點N的坐標，所以利用點F、N的坐標來求直線FG的方程；
（3）需要分類討論：△NEF∽△BEK和△NEF∽△BKE兩種情況．利用相似三角形的對應邊成比例來求BK的長度，從而得到K的坐標．

解答 解（1）∵$y=\frac{1}{2}x+4$，
∴E（0，4），則OE=4
∵B（8，0），
∴OB=8，
在Rt△OBE中，$tan∠OBE=\frac{OE}{OB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；

（2）如圖2，連接EF，設OF為x，則EF=BF=8-x，
在Rt△OFE中，由勾股定理得：（8-x）²=4²+x²，
解得x=3．
則F（5，0）．
∵∠OBE=∠ONF，
∴$tan∠OBE=tan∠ONF=\frac{OF}{ON}=\frac{1}{2}$，
∴ON=6，
∴N（0，-6）．
設FG的解析式為y=kx+b（k≠0），將點F、N代入，得方程組$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=2x-6；

（3）∵NE=10，EF=5，NF=$3\sqrt{5}$，BE=$4\sqrt{5}$，∠OBE=∠ONF，如圖3所示．
∴①當△NEF∽△BEK時，$\frac{NE}{BE}=\frac{NF}{BK}$，$\frac{10}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{BK}$
∴BK=6，
∴K（2，0）；
②當△NEF∽△BKE時，$\frac{NE}{BK}=\frac{NF}{BE}$，$\frac{10}{BK}=\frac{{3\sqrt{5}}}{{4\sqrt{5}}}$
∴BK=$\frac{40}{3}$，
∴K（-$\frac{16}{3}$，0）．
綜上所述，符合條件的點K的坐標是（2，0）或（-$\frac{16}{3}$，0）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質(zhì)．解答（3）題時，要分類討論，防止漏解．