Question

18．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．
（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；
（2）將圖1中的Rt△PMN繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．
①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；
③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m•BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD，得到答案；
②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；
③過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當(dāng)BD=m•BP時，PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）PE=PF，理由：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，
∴PE=PF；
（2）①成立，理由：
∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，
∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，
∴∠DOE+∠AOE=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠FOA+∠AOE=90°，
∴∠FOA=∠DOE，
在△FOA和△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠EDO}\\{OA=OD}\\{∠FOA=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△FOA≌△EOD，
∴OE=OF，即PE=PF；
②作OG⊥AB于G，
∵∠DOM=15°，
∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，
∵cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$，
∴OF=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又OE=OF，
∴EF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
③PE=2PF，
證明：如圖3，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，
則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2 HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PH}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
即PE=2PF，
由此規(guī)律可知，當(dāng)BD=m•BP時，PE=（m-1）•PF．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系正確運(yùn)用三角形全等和相似的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，正確作出輔助線是解答本題的重點(diǎn)．