Question

1．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)F，若AB=4，cos∠CEF=$\frac{4}{5}$，則△BEF的面積為5．

Answer 1

分析 如圖連接DF，取DF的中點(diǎn)O，連接OE、OC．首先證明D、E、F、C四點(diǎn)共圓，推出∠FEC=∠FDC，可得cos∠FEC=cos∠FDC=$\frac{4}{5}$，推出$\frac{CD}{DF}$=$\frac{4}{5}$，推出DF=5，由BE=DE，F(xiàn)E⊥BD，推出BF=DF=5，可得S_△BFD=$\frac{1}{2}$•BF•CD=10，由BE=DE，可得S_△BFE=$\frac{1}{2}$S_△BFD，即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖連接DF，取DF的中點(diǎn)O，連接OE、OC．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵OD=OF，∠DEF=90°，
∴OE=OD=OF=OC，
∴D、E、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠FEC=∠FDC，
∴cos∠FEC=cos∠FDC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{4}{5}$，∵CD=4，
∴DF=5，
∵BE=DE，F(xiàn)E⊥BD，
∴BF=DF=5，
∴S_△BFD=$\frac{1}{2}$•BF•CD=10，
∵BE=DE，
∴S_△BFE=$\frac{1}{2}$S_△BFD=5．
故答案為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．