Question

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，如圖甲，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，則有⊙O的半徑r=2；如圖乙若半徑r_n的n個(gè)等圓⊙O₁、⊙O₂…⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂…⊙O_n均與AB相切，則r_n的值為$\frac{10}{2n+3}$．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先求出O₁O_n、CH、CK的長(zhǎng)度；運(yùn)用${S}_{△ABC}={S}_{△A{O}_{1}C}+{S}_{△B{O}_{n}C}$${S}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}+{S}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}$，列出關(guān)于r_n的等式，求出r_n即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，則
${S}_{△A{O}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$AC•r_n=3r_n，${S}_{△B{O}_{n}C}$=$\frac{1}{2}$BC•r_n=4r_n，
∵等圓⊙O₁，⊙O₂，…⊙O_n依次外切，且均與AB邊相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直線O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r_n+2r_n=2（n-1）r_n，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交O₁O_n于點(diǎn)K，
則CH=$\frac{24}{5}$，CK=$\frac{24}{5}-{r}_{n}$；
${S}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}=\frac{1}{2}{O}_{1}{O}_{n}•CK$=（n-1）（$\frac{24}{5}$-r_n）r_n，
${S}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}=\frac{1}{2}[2（n-1）{r}_{n}+10]{r}_{n}$=[（n-1）r_n+5]r_n；
∵${S}_{△ABC}={S}_{△A{O}_{1}C}+{S}_{△B{O}_{n}C}$+${S}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}+{S}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}$，
∴24=$3{r}_{n}+4{r}_{n}+（n-1）（\frac{24}{5}-{r}_{n}）{r}_{n}$+[（n-1）r_n+5]r_n，
解得：${r}_{n}=\frac{10}{2n+3}$

點(diǎn)評(píng) 該題以相切兩圓為基礎(chǔ)，以相切兩圓的性質(zhì)為考查的核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形的面積公式等來(lái)表示圖形中面積之間的等量關(guān)系．