Question

16．如圖，已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象的一個交點為A（1，m），過點B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象交于點D（n，-2）．
（1）k₁和k₂的值分別是多少？
（2）直線AB，BD分別交x軸于點C，E，若F是y軸上一點，且滿足△BDF∽△ACE，求點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A在直線AC上，可求出點A的坐標，根據(jù)點A的坐標結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k₁的值．由BD⊥AC，通過角的計算可得出∠BEC=∠OBC，從而得出△BEC∽△OBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出點E的坐標，再根據(jù)點B、E的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，從而可得出點D的坐標，由點D的坐標結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k₂的值；
（2）由點A、C、E的坐標可得出AC、AE、CE的長度，由此可得出AE=CE，即∠EAC=∠ECA，再根據(jù)同角的余角相等可得出∠EAC=∠DBF，從而得出點F在點B的下方，設點F（0，t），結(jié)合點B、D的坐標即可得出BF、BD的長度，結(jié)合△BDF∽△ACE利用相似三角形的性質(zhì)即可得出關于t的一元一次方程，解方程即可求出t值，從而得出點F的坐標．

解答 解：（1）∵點A（1，m）在一次函數(shù)y=2x+2的圖象上，
∴m=2+2=4，
∵點A（1，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象上，
∴k₁=1×4=4；
∵BD⊥AB，
∴∠BCE+∠BEC=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠BEC=∠OBC，
∴△BEC∽△OBC，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{BC}{OC}$．
∵已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與x軸交于點C，
∴B（0，2），C（-1，0），
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OB=2，OC=1，
∴CE=$\frac{BC•CB}{OC}$=5，
∴E（4，0）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∵點D（n，-2）在直線BD上，
∴-2=-$\frac{1}{2}$n+2，解得：n=8，
∵點D（8，-2）在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k₂=8×（-2）=-16．
（2）∵A（1，4），C（-1，0），E（4，0），
∴CE=4-（-1）=5，AE=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，AC=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠EBO+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠EBO=∠BCO=∠EAC=∠DBF，
∴點F在點B的下方．
設點F（0，t），B（0，2），D（8，-2），
∴BF=2-t，BD=$\sqrt{{8}^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵△BDF∽△ACE，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{BD}{AC}$，
∴BF=2-t=$\frac{BD•AE}{AC}=\frac{4\sqrt{5}×5}{2\sqrt{5}}$=10，
解得：t=-8．
∴當F是y軸上一點，且滿足△BDF∽△ACE時，點F的坐標為（0，-8）．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及兩點間的距離公式，解題的關鍵是：（1）求出點A、D的坐標；（2）找出關于t的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用相似三角形的性質(zhì)找出方程是關鍵．