Question

5．對于平面直角坐標(biāo)系xoy中的直線l和⊙C，給出定義：若⊙C上存在兩個點(diǎn)A、B，直線l上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則稱直線l為⊙C的“線”，點(diǎn)P為“點(diǎn)”．
（1）已知⊙O的半徑為1，
①直接寫出直線l：y=x上的3個“點(diǎn)”的坐標(biāo)；
②判斷直線l：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-2是否為⊙O的“線”，并說明理由；
③若直線l：y=kx-2（k≠0）是⊙O的“線”，求k的取值范圍．
（2）已知直線y=$\frac{3}{4}$x-3和點(diǎn)C（2，1），以C為圓心，r為半徑作⊙C，若直線l是有唯一“點(diǎn)”的⊙C的“線”，求r的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：點(diǎn)A、B、C均為“點(diǎn)；
（2）如圖2所示，過點(diǎn)O作OP⊥DC，垂足為P，過點(diǎn)P作圓O的切線PB、PA．先求得OP=$\sqrt{3}$，然后可求得sin∠OPB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而可知∠OPB＜45°，直線l不是⊙O的“線”；
（3）如圖3所示：過點(diǎn)P作PB、PA與圓O相切．首先證明四邊形OAPB為正方形，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），將x=1，y=-1代入y=kx-2得k=1，當(dāng)k≥1時，直線y=kx-2（k≠0）是⊙O的“線”；由圖形的對稱性可知當(dāng)k≤-1時，直線y=kx-2（k≠0）是⊙O的“線”；
（4）如圖4所示：過點(diǎn)C作CP⊥l，垂足為P，首先證明四邊形CAPB為正方形，從而得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC，設(shè)CP的解析式為y然后求得直線PC的解析式為y=-$\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}$從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得點(diǎn)PC的長，從而可求得圓的半徑的長度．

解答 解：（1）如圖1所示；

由直徑所對的圓周角為90°可知，點(diǎn)B、C為“點(diǎn)．
∵OB=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
根據(jù)圖形可知A為“點(diǎn)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）．
②直線不是⊙O的“線”．

理由：如圖2所示，過點(diǎn)O作OP⊥DC，垂足為P，過點(diǎn)P作圓O的切線PB、PA．
令直線y=0得：$\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$=0，解得：x=2$\sqrt{3}$．
∴OC=2$\sqrt{3}$．
在Rt△OCD中，tan∠OCD=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠OCD=30°．
∴∠DOP=60°．
在Rt△OPD中，$\frac{OP}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{OP}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OP=$\sqrt{3}$．
∵BP是圓O的切線，
∴OB⊥PB．
∴sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵$\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OPB＜45°．
∴∠BPA＜90°．
∴直線l不是⊙O的“線”．
③如圖3所示：過點(diǎn)P作PB、PA與圓O相切．

∵PB、PA與圓O相切，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
由題意可知，若直線l要剛好是⊙O的“線”，需要點(diǎn)P到⊙O的兩條切線PA和PB之間所夾的角為90°．
∴∠OAP=∠OBP=∠APB=90°．
∴四邊形OAPB為矩形．
又∵OB=OA，
∴四邊形OAPB為正方形．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）．
將x=1，y=-1代入y=kx-2得k=1．
∴當(dāng)k≥1時，直線y=kx-2（k≠0）是⊙O的“線”；
由圖形的對稱性可知當(dāng)k≤-1時，直線y=kx-2（k≠0）是⊙O的“線”．
故k的取值范圍是k≥1或k≤-1．
（4）如圖4所示：過點(diǎn)C作CP⊥l，垂足為P．

∵直線l是有唯一“點(diǎn)”的⊙C的“線”，
∴PB、PA與圓C相切．
∴∠CAP=∠CBP=∠APB=90°．
∴四邊形CAPB為矩形．
又∵CB=CA，
∴四邊形CAPB為正方形．
∴BC=BP．
∴∠CPB=45°．
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC．
設(shè)CP的解析式為y=$-\frac{4}{3}x+b$，將x=2，y=1代入得：b=$\frac{11}{3}$．
∴直線PC的解析式為y=-$\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}$．
將y=$\frac{3}{4}x-3$與y=-$\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}$聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3.2}\\{y=0.6}\end{array}\right.$
所以PC=$\sqrt{（3.2-2）^{2}+（1+0.6）^{2}}$=$\sqrt{1．{2}^{2}+1．{6}^{2}}=2$．
∴BC=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴r=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和新概念等知識，注意臨界點(diǎn)位置的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．