Question

13．在平面直角坐標系中，A（0，3），B（4，1），以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，求直角頂點C的坐標．

Answer 1

分析 以AB為直徑作⊙F，過圓心F作AB的垂直平分線，與⊙F的交點分別為C₁，C₂，利用利用勾股定理可知點C₁符合題意，最后利用全等三角形可求出點C₂的坐標．

解答 解：以AB為直徑作⊙F交x軸與點C₁和點D，過點F作FG⊥x軸于點G，
∵A（0，3），B（4，1），
∴利用中點公式可以求出F（2，2），
由勾股定理求出：AB=$2\sqrt{5}$，
∴FG=2，
∵C₁F=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求出：C₁G=1，
∴C₁的坐標為（1，0），
∴由勾股定理可求得：C₁B=$\sqrt{10}$，
∵C₁B²=C₁F²+BF²，
∴△C₁FB是直角三角形，
∵C₁F=BF，
∴∠C₁BF=45°，
∴△AC₁B是等腰直角三角形，
連接C₁F，并延長交⊙F于點C₂，連接C₂D，
∴∠C₁DC₂=90°，
∴由中位線定理可知：C₂D=2FG=4，
∴由勾股定理可知：C₁D=2，
∴OD=3，
∴C₂的坐標為（3，4），
綜上所述，點C的坐標為（1，0）或（3，4）．

點評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)，涉及圓周角定理，勾股定理及其逆定理等知識，綜合程度較高．