Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，過(guò)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠BAC=60°，AB=8時(shí)，求EG的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，求tanF的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=∠C，證出OD∥AC，再由已知得出EF⊥OD，即可證出EF是⊙O的切線；
（2）連接BG、AD，由圓周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°，即BG⊥AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，證出△ABC是等邊三角形，得出AC=AC=8，證出EF∥BG，由平行線得出CE：EG=CD：BD，證出CE=EG，由等腰三角形的性質(zhì)得出CG=AG=$\frac{1}{2}$AC=4，即可得出EG的長(zhǎng)；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)得出CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理求出AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，由三角函數(shù)求出sinC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，得出DE=$\frac{4}{5}$CD=$\frac{12}{5}$，再由勾股定理求出AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，由平行線得出△ODF∽△AEF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出DF=$\frac{60}{7}$，在Rt△ODF中，由三角函數(shù)定義即可得出答案．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接BG、AD，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AGB=∠ADB=90°，
即BG⊥AC，AD⊥BC，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴BD=CD，△ABC是等邊三角形，
∴AC=AC=8，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BG，
∴CE：EG=CD：BD，
∴CE=EG，
∵BG⊥AC，
∴CG=AG=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴EG=$\frac{1}{2}$CG=2；

（3）解：∵AD⊥BC，CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，sinC=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴DE=$\frac{4}{5}$CD=$\frac{4}{5}$×3=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{DF}{EF}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{16}{5}}=\frac{DF}{\frac{12}{5}+DF}$，
解得：DF=$\frac{60}{7}$，
在Rt△ODF中，OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴tanF=$\frac{OD}{DF}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{60}{7}}$=$\frac{7}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．