Question

20．直線y=-$\frac{4}{3}$x-4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=x²-4x+5上的一點M（3，2）．
（1）求點M到直線AB的距離；
（2）拋物線上是否存在點P，使得△PAB的面積最�。咳舸嬖�，求出點P的坐標及△PAB面積的最小值；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設點M到直線AB的距離的直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線解析式，再聯(lián)立兩個直線解析式求得交點坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求解；
（2）可設與直線y=-$\frac{4}{3}$x-4平行的直線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+m，代入拋物線根據(jù)判別式得到直線解析式，進一步得到交點坐標，再根據(jù)面積公式即可求解．

解答 解：（1）設點M到直線AB的距離的直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，則
2=$\frac{3}{4}$×3+b，
解得b=-$\frac{1}{4}$，
∴直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$，
聯(lián)立兩個直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{5}}\\{y=-\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
則點M到直線AB的距離為$\sqrt{（3+\frac{9}{5}）^{2}+（2+\frac{8}{5}）^{2}}$=6；
（2）設與直線y=-$\frac{4}{3}$x-4平行的直線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+m，
代入拋物線得x²-4x+5=-$\frac{4}{3}$x+m，即3x²-8x+（15-3m）=0，
△=64-4×3（15-3m）=0，
解得m=$\frac{29}{9}$，
則9x²-24x+16=0，
解得x=$\frac{4}{3}$，
則y=（$\frac{4}{3}$）²-4×$\frac{4}{3}$+5=$\frac{13}{9}$，
則交點P的坐標（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{9}$），
則△PAB面積的最小值=（3+$\frac{4}{3}$）×（4+$\frac{13}{9}$）-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{4}{3}$）×$\frac{13}{9}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×（4+$\frac{13}{9}$）=$\frac{325}{6}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，三角形的面積的應用，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關鍵，數(shù)形結合思想的運用．