Question

11．如圖1，已知拋物線C₁：y=ax²+bx+c與x軸交于A（-$\frac{16}{3}$，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且tan∠ABC=$\frac{4}{3}$．
（1）求該拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有多少個(gè)？請說明理由．
（3）如圖2，將原拋物線C₁繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到的新拋物線C₂的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)Q是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)的直線PQ與拋物線C₂在第二象限有唯一公共點(diǎn)P，過P分別作PG⊥PQ交y軸與G，PT∥y軸，求證：∠TPG=∠FPG．

Answer 1

分析 （1）先利用∠ABC的正切值求出OC的長，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分兩種情況：①點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，②點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，分別求出S的取值范圍，然后結(jié)合S為整數(shù)，找出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，即可得出答案；
（3）先利用二次函數(shù)的圖象與幾何變換得出拋物線C₂的解析式，并設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²），直線PQ的解析式為y=kx+n（k≠0），根據(jù)直線PQ與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)求得n=-k²，然后用k表示點(diǎn)P、Q、G的坐標(biāo)，得到GF=FQ，再利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理即可．

解答 解：（1）由B（6，0）可得OB=6，
∵tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OC}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴OC=8，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），
∵點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在拋物線C₁上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{256}{9}a-\frac{16}{3}b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{6}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{6}$x+8；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足-$\frac{16}{3}$＜x＜0，
若P與點(diǎn)A重合，則△PBC的面積為S=$\frac{1}{2}$×（$\frac{16}{3}$+6）×8=45$\frac{1}{3}$，
∴S的取值范圍是0＜S＜45$\frac{1}{3}$，
∵S為整數(shù)，
∴S可取的值為1，2，…45，共45個(gè)，
又∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足-$\frac{16}{3}$＜x＜0，
∴點(diǎn)P有45個(gè)位置，
∴點(diǎn)P在y軸的左側(cè)且△PBC的面積S為整數(shù)時(shí)，△PBC有45個(gè)；
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足0＜x＜6，
如圖，連接OP，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{4}$x²+x+8），
∴S=S_△PCO+S_△POB-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$×8•x+$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）-$\frac{1}{2}$×6×8
=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+6$\frac{3}{4}$，
∴S的取值范圍是0＜S＜6$\frac{3}{4}$，
∵S為整數(shù)，
∴S可取的值為1，2，…6，共6個(gè)，
又∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足0＜x＜6，
∴點(diǎn)P有12個(gè)位置，
∴點(diǎn)P在y軸的右側(cè)且△PBC的面積S為整數(shù)時(shí)，△PBC有12個(gè)；
綜合①、②可知，這樣的△PBC共有45+12=57個(gè)；
（3）∵拋物線C₁繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到的新拋物線C₂的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴新拋物線C₂的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，
設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²），直線PQ的解析式為y=kx+n（k≠0），
由點(diǎn)Q是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)的直線PQ與拋物線C₂在第二象限有唯一公共點(diǎn)P，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx+n}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{4}$x²-kx+n=0，
∴△=（-k）²-4×$\frac{1}{4}$×（-n）=0，∴n=-k²，
∴直線PQ的解析式為y=kx-k²，P（2k，k²），Q（0，-k²），
設(shè)直線PG的解析式為y=-$\frac{1}{k}$x+p，將P的坐標(biāo)代入可得p=k²+2，則G（0，k²+2），
∴GF=k²+1，F(xiàn)Q=k²+1，
∴GF=FQ，即點(diǎn)F是Rt△GPQ斜邊上的中點(diǎn)，
∴FP=FG，
∴∠FPG=∠FGP，
又∵PT∥y軸，
∴∠TPG=∠FGP，
∴∠TPG=∠FPG．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，分類討論思想的應(yīng)用．