Question

1．如圖，直線L交x軸、y軸分別于A、B兩點，A（a，0）B（0，b），且（a-b）²+|b-4|=0
（1）求A、B兩點坐標；
（2）C為線段AB上一點，C點的橫坐標是3，P是y軸正半軸上一點，且滿足∠OCP=45°，求P點坐標；
（3）在（2）的條件下，過B作BD⊥OC，交OC、OA分別于F、D兩點，E為OA上一點，且∠CEA=∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由（a-b）²+|b-4|=0，利用非負數(shù)的性質(zhì)得到a-b=0，b-4=0，解得a=4，b=4，得到A（4，0），B（0，4）；
（2）如圖1過點O作OM⊥OC交CP的延長線于M，得到等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得到OM=OC，利用直線AB的解析式，求出點C的坐標，從而得到點M的坐標，求得直線CM 的解析式，得到P點的坐標；
（3）過點A作AF⊥x軸，交OC的延長線于F，證明△BOD與△OAF，△ACE與△ACF全等，得到AE=AF，OD=AF，由等量代換得到OD=AE．

解答 （1）解：∵（a-b）²+|b-4|=0，
∴a-b=0，b-4=0，
∴a=4，b=4，
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）如圖1過點O作OM⊥OC交CP的延長線于M，
∵∠OCP=45°，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∴OM=OC，
設直線AB的解析式為：y=kx+4，
∴0=4k+4，
∴k=-1，
∴直線AB的解析式為：y=-x+4，
當x=3時，y=1，
∴C（3，1），
∴M（-1，3），
∴直線CP的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴P（0，$\frac{5}{2}$）；

（3）過點A作AF⊥x軸，交OC的延長線于F，由（1）證得OA=OB，由（2）的條件得∠DBO=∠AOF，
∵∠BOD=∠OAF=90°，
在△BOD與△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠AOF}\\{OA=OB}\\{∠BOD=∠OAF}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△OAF，
∴OD=AF，∠BDO=∠AFO，
∵∠CAE=∠CAF=45°，
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠CEA=∠AFO，
在△ACE與△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠AFO}\\{AC=AC}\\{∠CAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵OD=AF，
∴OD=AE．

點評 本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，求點的坐標，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是正確的作出輔助線．