Question

9．如圖，已知拋物線y=x²-2（m+1）x+m²+1與x軸的相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，5）點(diǎn)，O為原點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動，用t（秒）表示移動時(shí)間，連結(jié)PQ交BC于M點(diǎn)，問是否存在t值，使以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？若存在，求所有的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．并令拋物線的解析式中y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可．
（2）存在．分①當(dāng)∠OQP=∠OCB時(shí)，△OCB∽△OQP，②當(dāng)∠OCB=∠OPQ時(shí)，△COB∽△POQ兩種情況討論．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2（m+1）x+m²+1與y軸交于C（0，5）點(diǎn)，
∴5=m²+1．m=±2
當(dāng)m=2時(shí)，拋物線y=x²-6x+5；
+m²+1當(dāng)m=-2時(shí)，拋物線y=x²+2x+5，此時(shí)拋物線與x軸無交點(diǎn)，故不符合題意，舍去．
令x²-6x+5=0，（x-1）（x-5）=0，∴x₁=1，x₂=5
∴A（1，0），B（5，0）
即：拋物線的解析式為：y=x²-6x+5；A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（1，0），B（5，0）．
（2）存在．如下圖所示：
①當(dāng)∠OQP=∠OCB時(shí)，△OCB∽△OQP，
∴$\frac{OC}{OQ}=\frac{OB}{OP}$，$\frac{5}{t}=\frac{1}{5-t}$，解之得：t=$\frac{25}{6}$（秒）
②當(dāng)∠OCB=∠OPQ時(shí)，△COB∽△POQ，
∴$\frac{CO}{OP}=\frac{OB}{OQ}$，$\frac{5}{5-t}=\frac{1}{t}$，解之得：t=$\frac{5}{6}$$\frac{25}{6}$
即：當(dāng)t等于$\frac{5}{6}$秒或$\frac{25}{6}$秒時(shí)，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)等問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所涉及的知識點(diǎn)，分類討論是解題的難點(diǎn)所在．