Question

4．兩個直角邊為6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，按圖1所示的位置放置，A與C重合，O與E重合．
（1）求圖1中A，B，D三個點的坐標(biāo)．
（2）Rt△AOB固定不動，Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當(dāng)點D運動到與B點重合時停止，設(shè)運動x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)Rt△CED以（2）中的速度和方向運動，運動時間x=4秒時，Rt△CED運動到如圖2所示的位置，求經(jīng)過A，G，C三點的拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角邊為6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），
（2）Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長的速度向右運動，且DE=6，所以在運動過程中有兩種情況，即D點仍停留在y軸左側(cè)和D在y軸右側(cè)，需分情況討論．在第一種情況中，重合部分為兩個全等的直角梯形，在第二種情況中，重合部分為一個等腰直角三角形，面積易求出．
（3）當(dāng)運動時間為4秒時，即為（2）中第二種情況，此時A、G、C坐標(biāo)均可求出，可利用待定系數(shù)法進行求解．

解答 解：（1）因為兩個直角邊為6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，
可得：A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．
（2）當(dāng)0≤x＜3時，位置如圖A所示，
作GH⊥DB，垂足為H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S_梯形IOHG=2（S_△GHD-S_△IOD）
=2[$\frac{1}{2}$（6-x）²-$\frac{1}{2}$（6-2x）²]
=2（$\frac{3}{2}$x²+6x）
=-3x²+12x
當(dāng)3≤x≤6時，位置如圖B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S_△DGB=$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}DB）^{2}$=$\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-2x）]²=x²-12x+36
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：$y=\left\{\begin{array}{l}{-3{x}^{2}+12x（0≤x＜3）}\\{{x}^{2}-12x+36（3≤x≤6）}\end{array}\right.$；
（3）圖B中，作GH⊥OE，垂足為H，
當(dāng)x=4時，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=$\frac{1}{2}$DB=2，OH=6-HB=6-$\frac{1}{2}$，DB=6-2=4
∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），
∴經(jīng)過A，G，C三點的拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$（x-4）²+2=$\frac{{x}^{2}}{4}$-2x+6．

點評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是把運動問題和二次函數(shù)緊密聯(lián)系，考慮問題要全面．