Question

9．如圖，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將△ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，連接AM，BN．
（1）求證：AM=BN；
（2）當(dāng)MA∥CN時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角α的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由CA=CB，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，得CE=CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，證明△AMC≌△BNC即可；
（2）當(dāng)MA∥CN時(shí)，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，
∴CE=CF，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，
在△AMC和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACM=∠BCN}\\{CM=CN}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BNC，
∴AM=BN；
（2）∵M(jìn)A∥CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∵∠ACN+∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠AMC=90°，
∴cosα=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度適中，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．